ابن الإسكندرية، من مواليد الرابع من يونيو عام 1944 بمحافظة الإسكندرية، و حصل بكر على بكالريوس العلوم العسكرية، لعب بكر في نادي الأوليمبي السكندري، وكان من ضمن الجيل الذهبي لهذا النادي السكندري الذي نجح في الحصول على الدوري الممتاز عام 1965/1966 في جيل ضم عز الدين يعقوب والبحر جسور والبوري، وغيرهم من اللاعبين، وكان من أوائل اللاعبين الذين اشتركوا في بطولة دوري أبطال إفريقيا التي انطلقت عام 1964. كان من المدافعين المتميزين، والذين حرمتهم نكسة 1967 من أن يستمروا اكثر في الملاعب، حيث توجه الجميع إلى تحرير سيناء، والمجهود الحربي.
على مستوى الإدارة، فقد كان محمود بكر عضو مجلس إدارة بنادي سموحة السكندري في دورة 1989، وترأس النادي الأوليمبي في دورات 1990 و2001، وكان عضوًا بمجلس إدارة الإتحاد المصري في 2005، والذي اعد جيلاً تاريخيًا للكرة المصرية، فبعد الخروج الهزيل من الدور الأول في كأس أمم إفريقيا 2004 بتونس عاد الفريق في عهد مجلس سمير زاهر الذي كان بكر احد اعضائه ليفوز ببطولة أمم إفريقيا 2006 بمصر.
بكر الذي يعد من اشهر المعلقين التي انجبتهم مصر من الكابتن لطيف والجويني والشربيني، تمتع بخفة الظل، والعفوية الشديدة في التعليق، وبالطبع لايمكن أن ننسى له تعليقه على مباراة المنتخب الوطني مع منتخب هولندا إثر إحراز مجدي عبد الغني هدف التعادل مع الطواحين في ستاد باليرمو بإيطاليا عام 1990" عدالة السماء نزلت على ستاد باليرمو"، وغيره من التعليقات الإرتجالية التي رسخت في جمهور الكرة المصري والعربي.